Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A（-1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO=∠CBO；
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1），进而求出AB=BC，OA=OC即可得出答案；
（3）首先得出∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD，进而分析得出P点坐标即可．
【解析】
（1）由题意，得，
解得，
∴所求二次函数的解析式为：y=-x2+x+2，
对称轴为直线x=1；

（2）证明：由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1）．
∵AB=，BC=，∴AB=BC．
又∵OA=，OC=，∴OA=OC，
∴∠ABO=∠CBO．

（3）由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1，1）．
由直线AB的表达式：y=x+，
得直线与x轴的交点E的坐标为（-4，0）．
∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
（i）当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（-4，0）．
（ii）当∠BOP=∠BCD时，
由△POB∽△BCD，得=．
而BO=2，BD=，BC=，
∴BP=．
又∵BE=2，
∴PE=．
作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F．
∵PH∥BF，
∴==．
而BF=2，EF=6，
∴PH=，EH=．
∴OH=．
∴点P的坐标为（，）．
综上所述，点P的坐标为（-4，0）或（，）．