Question

点E为正方形ABCD的对角线上一点，连接DE，BE并延长交AD于点F，EG⊥DE交BC于G，下列结论：①△BEC≌△DEC；②∠BED=120°时，EF平分∠AED； ③BG=AE；④当点G为BC的中点时，DF=2AF．其中正确的是（ ）

A．①②
B．①③④
C．②③④
D．①②③④

Answer

根据正方形的性质得CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，根据三角形全等的判定易证得△BEC≌△DEC，则可判断①正确；∠BEC=∠DEC，当∠BED=120°时，则∠DEC=60°，∠DEF=180°-120°=60°，易得∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，即可判断EF平分∠AED，所以②正确；过E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，四边形ENCQ、四边形APEM都为正方形，由EG⊥DE得∠DEQ=∠GEN，易证得Rt△DEQ≌Rt△GEN，得到△DEQ≌△GEN，则EG=ED，由①可得ED=EB，则EB=EG，利用等腰三角形的性质得到BN=GN，则BN=AM，而AE=AM，AM=AE，易得BG=2BN=2AM=AE，可判断③正确；当G点为BC的中点，设正方形ABCD的边长为4a，则BN=NG=a，NC=EN=3a，易证得Rt△MFE∽Rt△NEG，得到MF：NG=ME：EN，即MF：a=a：3a，求出MF=a，则AF=a+a=a，DF=4a-a=a，可判断④正确．
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中
，
∴△BEC≌△DEC，所以①正确；
∴∠BEC=∠DEC，
当∠BED=120°时，
∴∠DEC=60°，∠DEF=180°-120°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，
∴∠AEF=∠DEF，即EF平分∠AED，所以②正确； 
如图，过E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，
∴四边形ENCQ、四边形APEM都为正方形，
∵EG⊥DE，
∴∠DEQ=∠GEN，
在△DEQ和△GEN中，
，
∴△DEQ≌△GEN，
∴EG=ED，
∵△BEC≌△DEC，
∴ED=EB，
∴EB=EG，
∴BN=GN，
∵BN=AM，而AE=AM，
∴AM=AE，
∴BG=2BN=2AM=AE，所以③正确；
当G点为BC的中点，设正方形ABCD的边长为4a，则BN=NG=a，NC=EN=3a，
∴AM=ME=a，
易证得Rt△MFE∽Rt△NEG，
∴MF：NG=ME：EN，即MF：a=a：3a，
∴MF=a，
∴AF=a+a=a，
∴DF=4a-a=a，
∴DF=2AF，所以④正确．
故选D．