Question

阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
（3）设点P是抛物线（第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知抛物线的顶点和抛物线上的几点，即可利用顶点式求解析式；
（2）利用A，B两点的坐标，由待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）根据S△PAB=S△CAB即可得到一个关于点P的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的P点．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
所以y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3，

（2）设直线AB的解析式为：y2=kx+b，
求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，
，
解得：
所以y2=-x+3，

（3）因为C点坐标为（1，4），
所以当x=1时，y1=4，y2=2，
所以CD=4-2=2，
，
假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
由S△PAB=S△CAB，
得：×3×（-x2+2x）=3
化简得：x2-2x+2=0，
∵b2+4ac=4-8=-4＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点使S△PAB=S△CAB．