Question

我们将1×2×3×…×n记作n!，如：5!=1×2×3×4×5；100!=1×2×3×…×100；若设S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!，则S除以2008的余数是（ ）
A．0
B．1
C．1004
D．2007

Answer

根据S的特点，再加上一列K=1!+2!+3!+…+2007!后不含系数的n!的形式的和的形式整理就可以得到意想不到的效果．
【解析】
设K=1!+2!+3!+…+2007!，
则S+K=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!+1!+2!+3!+…+2007!
=（1+1）1!+（2+1）2!+（3+1）3!+…+（2007+1）2007!
=2×1!+3×2!+4×3!+…+2007×2006!+2008×2007!
=2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+1!+2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+K+2008×2007!，
∴S=2008×2007!-1，
=2008!-1，
∴S除以2008的余数是-1，即S再加上1则能被2008整除，
∴商减小1，则余数为2007．
故选D．