Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²-m+3
（1）证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上；
（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当OM•ON=3，且OM≠ON时，求抛物线的解析式；
（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A．点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在线段AC上．试问：是否存在点P，使S_△PAD=S_△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据抛物线的解析式，用配方法得出抛物线顶点的表达式，然后代入直线y=-x+3中即可得出所证的结论．
（2）已知：OM•ON=3，根据一元二次方程根与系数的关系可知：方程0=-x2+2mx-m2-m+3中，m2-m+3=±3，据此可求出m的值，然后可根据OM≠ON和方程的△＞0将不合题意的m值舍去，由此可求出抛物线的解析式．
（3）可先根据抛物线和直线AC的解析式求出A、C点的坐标．进而可求出AC的长．可先设PD的长为x，那么可用x表示出CD，AD的长，进而可表示出△APD的面积，根据S△PAD=S△ABC，即可得出x的值，也就能求出CD、PD的长，进而可求出CP的长，也就不难得出P点的坐标了．
【解析】
（1）y=-x2+2mx-m2-m+3=-（x-m）2-m+3，
∴顶点坐标为（m，-m+3），
∴顶点在直线y=-x+3上．

（2）∵抛物线与x轴交于M、N两点，
∴△＞0，
即：（2m）2-4（m2+m-3）＞0，
解得：m＜3，
∵OM•ON=3，
∴m2+m-3=±3，
当m2+m-3=-3时，m2+m=0，
∴m=0，m=-1，
∴当m=0时，y1=-x2+3（与OM≠ON矛盾，舍），
∴m=-1，y1=-x2-2x+3，
当m2+m-3=3时，m2+m-6=0，
∴m=2，m=-3，
∴y2=-x2+4x-3，y3=-x2-6x-3．

（3）∵抛物线与y轴交点在原点的上方
∴y=-x2-2x+3，
∴C（-1，4），B（-1，0），
∵直线y=-x+3与x轴交于点A，
∴A（3，0），
∵BA=BC，
∴∠PCD=45°，
∴设PD=DC=x，
则PC=x，AD=4-x，
∵S△PAD=S△ABC，
∴（4-x）•x=××4×4，x2-4x+4=0；
解得：x=2±2；
当x=2+2时，PC=x=4+2，
∴4-yP=4+2，
∴yP=-2，
∴P（-1，-2），
当x=2-2时，PC=4-2，
∴yP=2，
∴P（-1，2），
∴P（-1，2）或P（-1，-2）．