Question

已知点M（p，q）在抛物线y=x²-1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x²-2px+q=0的两根．
（1）当M在抛物线上运动时，⊙M在x轴上截得的弦长是否变化？为什么？
（2）若⊙M与x轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，试求p、q的值．

Answer

（1）设A、B两点的横坐标分别是x1、x2，将AB用|x1-x2|表示，再转化为一元二次方程根与系数的关系，用系数p、q来表示，从而得到AB的长度变化情况；
（2）根据y=x2-1，求出C点坐标为（0，-1），根据两点间距离公式求出BC、AC的长，由（1）又知AB的长，然后分类讨论构成等腰三角形的情况，求出p、q的值．
【解析】
（1）设A、B两点的横坐标分别是x1、x2，由根与系数的关系知x1+x2=2p，x1•x2=q，
那么：，
又因为M在抛物线y=x2-1上，所以q=p2-1．故AB=2，即⊙M在x轴上截得的弦长不变．

（2）C（0，-1），，，
①当AC=BC，即x1=-x2时，p=0，q=-1；
②当AC=AB时，，，，或p=1-，；
③当BC=AB时，，，q=3+2或p=-1，q=3-2．