Question

如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
（3）BE+BF=0A；
（4）AE²+CF²=20P•OB．
正确的结论有（ ）个．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角．
【解析】
（1）错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COD，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正确．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积；
（3）正确．BE+BF=AB=OA；
（4）正确．
AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=（OF）2=2OF2，
在△OPF与△OFB中，
∠OBF=∠OFP=45°，
∠POF=∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF=OF：OB，
OF2=OP•OB，
AE2+CF2=20P•OB．
另法：AE2+CF2=BF2+BE2=EF2=（PF+PE）2=PE2+PF2+2PE•PF．
作OM⊥EF，M为垂足．
∵OE=OF，
∴OM=ME=MF．
PE2+PF2=（ME-MP）2+（MF+MP）2=2（MO2+MP2）=2OP2．
∵O、E、B、F四点共圆，
∴PE•PF=OP•PB，
∴AE2+CF2=2OP2+2OP•PB=2OP（OP+PB）=2OP•OB．
故选C．