Question

如图（1），Rt△AOB中，，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

Answer

（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；
（2）有四种情况：①当P在BC上，Q在OC上时，t＜2，过P作PH⊥OC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面积，相减即可④t=4时，求出即可；
（3）有三种情况：①OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP时，此时不存在等腰三角形；③OM=OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t-2，即可求出答案．
（1）【解析】
∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴∠B=30°，
∴OA=OB=，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO2+AC2=CO2，
∴+（3-OC）2=OC2，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．

（2）【解析】
①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP=2-t，CQ=t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=CP=（2-t），HP=（2-t），
∴S△CPQ=CQ×PH=×t×（2-t），
即S=-t2+t；
②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，
∴S=0，

③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=，
CP=t-2，OQ=t-2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=OP=（4-t），PG=（4-t），
∴S△CPQ=S△COQ-S△OPQ=×（t-2）×-×（t-2）×（4-t），
即S=t2-t+．
④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）

过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM=BC=1，
有勾股定理得：BM=，
∵OB=2，
∴OM=2-==CK，
∴S=PQ×CK=×2×=；
综合上述：S与t的函数关系式是：S=；
．

（3）【解析】
如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°-30°=60°，
①OM=PM时，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t-2）=4-t，
解得：t=，
②PM=OP时，
此时∠PMO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；
③OM=OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP=4-t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO=（4-t），PG=（4-t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，
∴PG=QG=（4-t），
∵OG+QG=OQ，
∴（4-t）+（4-t）=t-2，
解得：t=
综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．