Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，
（1）把△ABC沿底边BC折叠，得到△DBC，则四边形ABDC是什么四边形，为什么？
（2）把△ABC沿腰AB折叠，得到△AEB，对于四边形CAEB，（1）中结论成立吗？

Answer

（1）利用等腰三角形的两个底角相等、折叠的性质推知四边形的对边AB=CD且AB∥CD，即四边形ABCD是平行四边形，然后利用折叠的对应边相等可以推知邻边相等的平行四边形ABCD是菱形‘
（2）（1）中的结论不一定成立．假设四边形AEBC是菱形，那么BC=AC，而AB=AC，则三角形ABC是等边三角形与已知条件不符．
【解析】
（1）∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）；
又∵由反折的性质知，∠ACB=∠DCB，
∴∠ABC=DCB（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
又∵AC=AB=CD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相等且平行的四边形是平行四边形），
∴▱ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；

（2）（1）中的结论不一定成立，即四边形CAEB不一定是菱形．
理由：假设四边形CAEB是菱形．则AC=BC；
∵AB=AC（已知），
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
∴当△ABC是等边三角形时，四边形CABE是菱形；
当等腰△ABC的腰与底边不相等时，四边形CAEB不是菱形，
∴四边形CAEB不一定是菱形．