Question

已知关于x的函数y=ax²+x+1（a为常数）．
（1）若函数的图象与x轴恰好有一个交点，求a的值；
（2）若函数的图象是与x轴恰好有一个交点的抛物线y，有一直线y经过抛物线的顶点和（0，-1），求y₁、y₂的解析式，并求出当x取什么范围时，y₁＞y₂．

Answer

（1）当a=0时，函数为一次函数，与x轴恰好有一个交点；当a≠0时，函数为二次函数，若与x轴有一个交点，则△=0，据此，解出a的值即可；
（2）根据（1）中结果，求出二次函数解析式，从而求出其顶点坐标，然后根据待定系数法求出直线解析式，然后即可求出y1＞y2时x的取值范围．
【解析】
（1）当a=0时，函数为一次函数，与x轴恰好有一个交点；
当a≠0时，图象与x轴恰好有一个交点，则△=0，
即1-4a=0，解得a=；
故a=0或者a=．

（2）根据（1）中a的值，二次函数解析式为y1=x2+x+1；
配方得，y=（x+2）2，
其顶点坐标为（-2，0）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
将（0，-1）和（-2，0）分别代入解析式得，
，
解得，故函数解析式为y2=-x-1．

（3）将两函数组成方程组得，，
解得，，
可见x小于-4或x大于-2时，y1＞y2．