Question

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）如图1，若点P在BC边上，∥此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）

Answer

（1）证平行四边形PEAF，推出PE=AF，PF=AE，根据等腰三角形性质推出∠B=∠C=∠EPB，推出PE=BE即可；
（2）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可；
（3）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可．
【解析】
（1）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PE∥AC，
∴∠EPB=∠C，
∴∠B=∠EPB，
∴PE=BE，
∵AE+BE=AB，
∴PE+PF=AB，

∵PD=0，
∴PD+PE+PF=AB．

（2）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，
由（1）得：PE+PF=AM，
∵四边形BDPM是平行四边形，
∵MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．
（3）结论是PE+PF-PD=AB．