Question

如图，△ABC为正三角形，面积为S．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，可得△D₁E₁F₁，则△D₁E₁F₁的面积S₁=    ；如，D₂，E₂，F₂分别是△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB，则△D₂E₂F₂的面积S₂=    ；按照这样的思路探索下去，D_n，E_n，F_n分别是△ABC三边上的点，且
AD_n=BE_n=CF_n=AB，则S_n=    ．

Answer

先利用边角边证明△AD1F1、△BD1E1、△CE1F1全等，再利用正弦定理的方法表示出△ABC的面积与△AD1F1的面积，然后根据△D1E1F1的面积等于△ABC的面积减去△AD1F1的面积的3倍列式进行计算即可；
先证明四周的三个三角形全等，然后用S表示出△AD2F2的面积，然后与第一问同理求解即可；
根据规律写出即可．
【解析】
∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD1=BE1=CF1=AB，
∴BD1=CE1=AF1=AB，
∴△AD1F1≌△BD1E1≌△CE1F1，
设等边△ABC的边长为a，
则S=a2sin60°，
△AD1F1的面积=×a•a•sin60°=S，
∴△D1E1F1的面积S1=S-3×S=S；

同理，AD2=BE2=CF2=AB时，
BD2=CE2=AF2=AB，
△AD2F2的面积S2=×a•a•sin60°=S，
△D2E2F2的面积S2=S-3×S=S；

ADn=BEn=CFn=AB时，
BDn=CEn=AFn=AB，
△ADnFn的面积=×a•a•sin60°=S，
△DnEnFn的面积Sn=S-3×S=S．
故答案为：S，S，S．