Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（ ）

A．②③
B．③④
C．①②④
D．②③④

Answer

这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．
【解析】
∵AB=1，AD=，
∴BD=AC=2，OB=OA=OD=OC=1．
∴OB=OA=OD=OC=AB=CD=1，
∴△OAB，△OCD为等边三角形．
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB=45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．
∴BF=AB=1，BF=BO=1．
∴∠FAB=45°，
∴∠CAH=45°-30°=15°．
∵∠ACE=30°（正三角形上的高的性质）
∴∠AHC=15°，
∴CA=CH
由正三角形上的高的性质可知：DE=OD÷2，OD=OB，
∴BE=3ED．
故选D．