Question

（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF．
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer

（1）①如图（1）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，根据条件证明△DCG≌△DBE，得DG=DE，CG=BE，易证FD垂直平分线段EG，则FG=FE，把问题转化到△CFG中，运用三边关系比较大小；
②结论：BE2+CF2=EF2．若∠A=90°，则∠B+∠C=90°，可证∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，在Rt△CFG中，由勾股定理探索线段BE、CF、EF之间的数量关系；
（2）如图（2），结论：EF=EB+FC．延长AB到M，使BM=CF，根据条件证明△BDM≌△CDF，则DM=DF，再证明△DEM≌△DEF，从而得EF=EM=EB+BM=EB+CF．
（1）①证明：如图（1）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
∵CD=DB，DG=DE，∠CDG=∠BDE，
∴△DCG≌△DBE，
∴DG=DE，CG=BE，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG=FE，
在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；
②结论：BE2+CF2=EF2．
理由：∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACD=90°，
由①∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2+CF2=FG2，
即BE2+CF2=EF2；

（2）如图（2），结论：EF=EB+FC．
理由：延长AB到M，使BM=CF，
∵∠ABD+∠C=180°，又∠ABD+∠MBD=180°，
∴∠MBD=∠C，而BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠EDF=120°-60°=60°=∠EDF，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF=EM=EB+BM=EB+CF．