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(1)如图(1),在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E...

(1)如图(1),在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①求证:BE+CF>EF.
②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明;
(2)如图(2),在四边形ABCD中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
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(1)①如图(1)延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG,根据条件证明△DCG≌△DBE,得DG=DE,CG=BE,易证FD垂直平分线段EG,则FG=FE,把问题转化到△CFG中,运用三边关系比较大小; ②结论:BE2+CF2=EF2.若∠A=90°,则∠B+∠C=90°,可证∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°,在Rt△CFG中,由勾股定理探索线段BE、CF、EF之间的数量关系; (2)如图(2),结论:EF=EB+FC.延长AB到M,使BM=CF,根据条件证明△BDM≌△CDF,则DM=DF,再证明△DEM≌△DEF,从而得EF=EM=EB+BM=EB+CF. (1)①证明:如图(1)延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG, ∵CD=DB,DG=DE,∠CDG=∠BDE, ∴△DCG≌△DBE, ∴DG=DE,CG=BE, 又∵DE⊥DF, ∴FD垂直平分线段EG, ∴FG=FE, 在△CFG中,CG+CF>FG,即BE+CF>EF; ②结论:BE2+CF2=EF2. 理由:∵∠A=90°, ∴∠B+∠ACD=90°, 由①∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°, ∴在Rt△CFG中,由勾股定理,得CG2+CF2=FG2, 即BE2+CF2=EF2; (2)如图(2),结论:EF=EB+FC. 理由:延长AB到M,使BM=CF, ∵∠ABD+∠C=180°,又∠ABD+∠MBD=180°, ∴∠MBD=∠C,而BD=CD, ∴△BDM≌△CDF, ∴DM=DF,∠BDM=∠CDF, ∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠EDF=120°-60°=60°=∠EDF, ∴△DEM≌△DEF, ∴EF=EM=EB+BM=EB+CF.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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