Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长BD至E，使DE=BD，连接AE．
（1）求四边形PCEA的面积；
（2）当AP的长为何值时，四边形PCEA是平行四边形；
（3）当AP的长为何值时，四边形PCEA是直角梯形．

Answer

（1）作CH⊥AB，垂足为H，即可证明四边形PBCE是平行四边形．根据四边形PCEA的面积=（CE+AP）•CH=AB•CH即可求解．
（2）根据点D是CP的中点，DE=BD，即可证明△ECD≌△BPD，即可证明EC∥AP，因而当AP=EC时，得▱PCEA，即可求解；
（3）当P、H重合是四边形是直角梯形，据此即可求解．
【解析】
作CH⊥AB，垂足为H，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=2，
则CH=．
连接EP，因为CD=DP，BD=DE，得▱PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．
（1），
四边形PCEA的面积=（CE+AP）•CH=AB•CH=2；

（2）当AP=2时，BP=EC=AP，则AP=EC，且AP∥EC，
得▱PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；

（3）当AP=3时，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，
AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；
当AP=1时，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，
EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．