Question

如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A₁，B₁，C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；第二次操作，分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至点A₂，B₂，C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂；…；按此规律继续下去，可得到△A₅B₅C₅，则其面积S₅=    ．

Answer

根据高的比等于面积比推理出△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，则△A1B1B的面积是△A1BC面积的3倍…，以此类推，得出△A2B2C2的面积．
【解析】
连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，
因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，
因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，
设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，
同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，
则△A1B1B的面积是6a，
同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，
△A1B1C1的面积是19a，
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，
即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，
依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195=2476099．