Question

把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．
（1）问：AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．
（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？说明理由．
（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．

Answer

（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可；
（2）根据三角形的边角关系求得BE=AD、CE=CD、CB=CA，所以根据SAS来证明△ECB∽△DCA，利用相似三角形的性质来解答即可；
（3）仍然证△ECB∽△DCA，然后再利用相似三角形的性质来证明．
【解析】
（1）AD=BE；AD⊥BE．
由题可得：CE=CD；CB=CA；∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，（2分）
又∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．（4分）

（2）BE=AD；AD⊥BE；
证明如下：
由题可得：CE=CD；CB=CA，
∴，又∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB∽△DCA，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC；（6分）
又∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°即：AD⊥BE；（8分）

（3）结论成立，仍然证△ECB∽△DCA，得到BE=AD，∠EBC=∠CAD，
图3：由∠CPA+∠CAP=90°，得∠BPF+∠CAP=90°，
又∠EBC=∠CAD
∴∠BPE+∠EBC=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE；（12分）
图4：由题可知：∠CAD+∠BAF=120°又∠EBC=∠CAD∴∠BAF+∠EBC=120°而∠CBA=30°，
∴∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE
图5：由∠CPB+∠EBC=90°，得∠APE+∠EBC=90°，
又∠EBC=∠CAD，
∴∠CAD+∠APE=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE．