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已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.分别以AB、AC为边,...

已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.分别以AB、AC为边,向形外作等边△ABD和等边△ACE.
(1)如图1,连接线段BE、CD.求证:BE=CD;
(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证:F为DE中点.
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(1)由△ABD和△ACE是等边三角形,根据等边三角形的性质得到AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,然后给∠DAB和∠EAC都加上∠BAC,得到∠DAC=∠BAE,利用“SAS“即可得到△DAC≌△BAE,最后根据全等三角形的对应边相等即可得证; (2)作DG∥AE,交AB于点G,由等边三角形的∠EAC=60°,加上已知的∠CAB=30°得到∠FAE=90°,然后根据两直线平行内错角相等得到∠DGF=90°,再根据∠ACB=90°,∠CAB=30°,利用三角形的内角和定理得到∠ABC=60°,由等边三角形的性质也得到∠DBG=60°,从而得到两角的相等,再由DB=AB,利用“AAS”证得△DGB≌△ACB,根据全等三角形的对应边相等得到DG=AC,再由△AEC为等边三角形得到AE=AC,等量代换可得DG=AE,加上一对对顶角的相等和一对直角的相等根据“AAS”证得△DGF≌△EAF,最后根据全等三角形的对应边相等即可得证. 证明:(1)∵△ABD和△ACE是等边三角形, ∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°, ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, 在△DAC和△BAE中, , ∴△DAC≌△BAE(SAS), ∴DC=BE; (2)如图,作DG∥AE,交AB于点G, 由∠EAC=60°,∠CAB=30°得:∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°, ∴∠DGF=∠FAE=90°, 又∵∠ACB=90°,∠CAB=30°, ∴∠ABC=60°, 又∵△ABD为等边三角形,∠DBG=60°,DB=AB, ∴∠DBG=∠ABC=60°, 在△DGB和△ACB中, , ∴△DGB≌△ACB(AAS), ∴DG=AC, 又∵△AEC为等边三角形,∴AE=AC, ∴DG=AE, 在△DGF和△EAF中, , ∴△DGF≌△EAF(AAS), ∴DF=EF,即F为DE中点.
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考点分析:
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已知:
求作:

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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