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已知,把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放,(点C与E点重合),点B、C、E、...

已知,把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放,(点C与E点重合),点B、C、E、F始终在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8,BC=6,EF=10,如图2,△DEF从图1出发,以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动,同时,点P从A出发,沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动,AC与△DEF的直角边相交于Q,当P到达终点B时,△DEF同时停止运动,连接PQ,设移动的时间为t(s).解答下列问题:
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(1)△DEF在平移的过程中,当点D在Rt△ABC的边AC上时,求t的值;
(2)在移动过程中,是否存在△APQ为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)在移动过程中,当0<t≤5时,连接PE,是否存在△PQE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(1)根据等腰三角形性质求出即可; (2)①AP=AQ,求出即可;②AP=PQ,作PH⊥AC于H,根据相似得出比例式,即可求出答案;③AQ=PQ,作PH⊥AC于H,根据相似得出比例式,④当5≤t≤10时,AQ=PQ,作PH⊥BC,PG⊥AC,利用相似与勾股定理,即可求出答案; (3)分为三种情况,①∠PQE=90°,②∠PEQ=90°,③∠EPQ=90°,根据勾股定理得出方程,求出方程的解,看看是否满足小于10即可. 【解析】 (1)当D在AC上时, ∵DE=DF, ∴EC=CF=EF=5, ∴t=5. (2)存在. ∵AP=t,∠EDF=90°,∠DEF=45°, ∴∠CQE=45°=∠DEF, ∴CQ=CE=t, AQ=8-t,当0≤t<5时, ①AP=AQ, t=8-t, ∴t=4; ②AP=PQ, 作PH⊥AC于H, AH=HQ=AQ=4-t, ∵PH∥BC, ∴△APH∽△ABC, ∴=, ∴=, ∴t=; ③AQ=PQ, 作QI⊥AB于I, AI=PI=AP=t(等腰三角形的性质三线合一), ∵∠AIQ=∠ACB=90°,∠A=∠A, ∴△AIQ∽△ACB, ∴=, ∴=, ∴t=, ④当5≤t≤10时,AQ=PQ,作PH⊥BC,PG⊥AC, 同理可求出, FC=QC=10-t,BP=10-t, PH=(10-t)=8-t, BH=(10-t)=6-t, QG=QC-GC=QC-PH=10-t-(8-t)=2-, PG=HC=6-(6-t)=t, PQ=AQ=8-(10-t)=t-2, ∴PQ 2=PG 2+QG 2, (t-2)2=(t) 2+(2-) 2, 解得:t=秒, 其它情况不符合要求, 综合上述:当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形. (3)由勾股定理:CE=CQ=t, ∵sinA===,cosA===, ∴PW=t,AW=t, ∴QW=8-t-t=8-t, ∴PQ2=PM2+QW2=(t)2+(8-t)2=t2-t+64, PE2=PH2+EH2=(t+8-t)2+(t-t)2=t2-t+64, ①∠PQE=90°, 在Rt△PEQ中 PQ2+QE2=PE2, ∴t1=0(舍去) t2=; ②∠PEQ=90°, PE2+EQ2=PQ2 t1=0(舍去) t2=20(舍去) ∴此时不存在; ③当∠EPQ=90°时 PQ2+PE2=EQ2, t1=(舍去) t2=4, 综合上述:当t=或t=4时,△PQE是直角三角形.
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考点分析:
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x(万元)1234
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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