Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．
其中结论正确的是（ ）

A．只有①②
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④

Answer

根据题意，对选项进行一一论证，排除错误答案．
【解析】
由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；
又因为∠BCE=15°，所以∠ACE=45°-15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等边三角形，故②正确；
∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，
∴∠EAH=∠ADH=45°，AD=AE，
∴AH=EH=DH，AH⊥DE，
假设AH=EH=DH=x，
∴AE=x，CE=2x，
∴CH=x，
∴AC=（1+）x，
∵AB=BC，
∴AB2+BC2=[（1+）x]2，
解得：AB=x，
BE=x，
∴==，
故③错误；
④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，
∴S△EBC：S△EHC=（BE×BC）：（HE×HC）
=（EC×sin15°×EC×cos15°）：（EC×sin30°×EC×cos30°）
=（EC×sin30°）：（EC×sin60°）
=EC：EC=1：=EH：CH=AH：CH，故④正确．
故其中结论正确的是①②④．
故选B．