Question

如图，直线l的解析式为y=x+4，l与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求原点O到直线l的距离；
（2）有一个半径为1的⊙C从坐标原点出发，以每秒1个单位长的速度沿y轴正方向运动，设运动时间为t（秒）．当⊙C与直线l相切时，求t的值．

Answer

（1）设点O到直线AB的距离为h，在y=x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，有三角形的面积公式可求出O到直线AB的距离为h=2.4；
（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，由于AO⊥BO，∠ABO=∠CBD，所以∠BDC=∠BOA=90°，△ABO∽△CBD，故=，由（1）得AO=3，BO=4，AB=5，故=，BC=，OC=4-=，t=CO=（秒），根据对称性得BC'=BC=，OC'=4+=，∴t=OC′=（秒）．故当⊙C与直线l相切时，秒或秒．
【解析】
（1）在y=x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，
∴AB==5（2分）
设点O到直线AB的距离为h，
∵S△AOB=AO•BO=AB•h
∴h==2.4；（4分）

（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，（5分）
∵AO⊥BO，∴∠BDC=∠BOA=90°
∵∠ABO=∠CBD
∴△ABO∽△CBD
∴=
由（1）得AO=3，BO=4，AB=5
∴=
∴BC=
∴OC=4-=
∴t=CO=（秒）（8分）
根据对称性得BC'=BC=
∴OC'=4+=
∴t=OC′=（秒）（9分）
∴当⊙C与直线l相切时，秒或秒．（10分）