Question

如图，正ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥AC，连AP、BP、CP，如果S_△AFP+S_△PCD+S_△BPE=，那么△ABC的内切圆半径为（ ）

A．1
B．
C．2
D．

Answer

过P点作正三角形的三边的平行线，于是可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，于是求出三角形ABC的面积，进而求出等边三角形的边长和高，再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半径的长度．
【解析】
过P点作正三角形的三边的平行线，
于是可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCDP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
又知S△AFP+S△PCD+S△BPE=，
故知S△ABC=3，
S△ABC=AB2sin60°=3，
故AB=2，
三角形ABC的高h=3，
△ABC的内切圆半径r=h=1．
故选A．