Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=25有公共点，且仅当时抛物线在x轴上方，求a、b、c的取值范围．

Answer

根据题意y=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，即ax2+bx+c-25=0有解，可得△=b2-4a（c-25）≥0，再根据不等式ax2+bx+c＞0的解是-＜x＜，结合一元二次不等式的解集的性质，可得b、c与a的关系，代入△=b2-4a（c-25）≥0中，可得答案．
【解析】
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=25有公共点，
∴依题意ax2+bx+c-25=0有解，
故△=b2-4a（c-25）≥0，
又不等式ax2+bx+c＞0的解是：-＜x＜，
∴a＜0且有x1+x2=-=-，x1x2==-．
∴b=a，c=-a．
∴b=-c，代入△≥0得c2+24c（c-25）≥0．
∴c≥24．
故得a、b、c的取值范围为a≤-144，b≤-24，c≥24．