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当-1≤x≤2时,求函数y=f(x)=2x2-4ax+a2+2a+2的最小值,并...

当-1≤x≤2时,求函数y=f(x)=2x2-4ax+a2+2a+2的最小值,并求最小值为-1时,a的所有可能的值.
先求出抛物线对称轴x=a,然后分①a≤-1,②-1<a<2,③a≥2三种情况,根据二次函数的增减性解答; 然后根据最小值为-1,分别代入求解关于a的一元二次方程即可. 【解析】 对称轴x=-=-=a, ①a≤-1时,-1≤x≤2范围内,y随x的增大而增大, 当x=-1时,y最小,最小值y=2×(-1)2-4a×(-1)+a2+2a+2=a2+6a+4, ②-1<a<2时, 当x=a时,有最小值,最小值y=2×a2-4a×a+a2+2a+2=-a2+2a+2, ③a≥2时,-1≤x≤2范围内,y随x的增大而减小, 当x=2时,y最小,最小值y=2×22-4a×2+a2+2a+2=a2-6a+10, 综上所述,a≤-1时,最小值为a2+6a+4, -1<a<2时,最小值为-a2+2a+2, a≥2时,最小值为a2-6a+10; ∵最小值为-1, ∴a2+6a+4=-1,整理得a2+6a+5=0, 解得a1=-1,a2=-5, -a2+2a+2=-1,整理得,a2-2a-3=0, 解得a3=-1,a4=3, a2-6a+10=-1,整理得,a2-6a+11=0, △=(-6)2-4×1×11=-8<0,方程无解, 综上所述,a的所有可能值为-1、3、-5.
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考点分析:
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  • 题型:解答题
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