Question

当-1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x²-4ax+a²+2a+2的最小值，并求最小值为-1时，a的所有可能的值．

Answer

先求出抛物线对称轴x=a，然后分①a≤-1，②-1＜a＜2，③a≥2三种情况，根据二次函数的增减性解答；
然后根据最小值为-1，分别代入求解关于a的一元二次方程即可．
【解析】
对称轴x=-=-=a，
①a≤-1时，-1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，
当x=-1时，y最小，最小值y=2×（-1）2-4a×（-1）+a2+2a+2=a2+6a+4，
②-1＜a＜2时，
当x=a时，有最小值，最小值y=2×a2-4a×a+a2+2a+2=-a2+2a+2，
③a≥2时，-1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，
当x=2时，y最小，最小值y=2×22-4a×2+a2+2a+2=a2-6a+10，
综上所述，a≤-1时，最小值为a2+6a+4，
-1＜a＜2时，最小值为-a2+2a+2，
a≥2时，最小值为a2-6a+10；
∵最小值为-1，
∴a2+6a+4=-1，整理得a2+6a+5=0，
解得a1=-1，a2=-5，
-a2+2a+2=-1，整理得，a2-2a-3=0，
解得a3=-1，a4=3，
a2-6a+10=-1，整理得，a2-6a+11=0，
△=（-6）2-4×1×11=-8＜0，方程无解，
综上所述，a的所有可能值为-1、3、-5．