Question

如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G交BC于F，则四边形BEGF的面积与四边形FCDG的面积之比为（ ）

A．4：7
B．9：17
C．12：23
D．16：25

Answer

首先证△AED≌△BFA，得S△ABF=S△DAE，两者都减去△AEG的面积后可得S△AGD=S四边形BGFB，那么只需求△AEC和△AGD的面积关系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易证得△AEG∽△DAG，根据它们的相似比（可由AE、BE的比例关系求得），即可求得两者的面积比为4：9，再由题意可求出△ADE和正方形的面积比为1：3，从而设SAEG=4x，则SAGD=9x，SABCD=39x，SGFCD=17x，继而可得出答案．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD；
∵∠EAG=∠EDA=90°-∠AEG，∠B=∠DAB=90°，AD=AB，
∴△AED≌△BFA；
∴S△ABF=S△DAE；
∴S△ABF-S△AEG=S△DAE-S△AEG，即S△AGD=S四边形BGFB；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90°，
∴△AEG∽△DAG；
∴=（）2=（）2=；
∴S△AEG：S△DAG=4：9；
从而设SAEG=4x，则SAGD=9x，SABCD=39x，SGFCD=17x，
∴四边形BEGF的面积与四边形FCDG的面积之比为9：17．
故选B．