Question

如图．抛物线y=-x²-2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、点B和点C的坐标．
（2）求直线AC的解析式．
（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S_△MAB=6，求点M的坐标．
（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从 B 向A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer

（1）令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标，令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可．
（2）利用已知的两点的坐标根据待定系数法求得一次函数的解析式即可．
（3）设出点M的坐标为（x，-x2-2x+3），然后表示出其面积=6，解得即可．
（4）由题意，得AB=4，PA=4-t，根据AO=3，CO=3，得到△AOC是等腰直角三角形，然后根据AQ=2t，求得Q点的纵坐标为t，最后求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．
【解析】
（1）令-x2-2x+3=0，（x+3）（x-1）=0，x1=-3，x2=1，
A（-3，0）B．（1，0），C（0，3）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
由题意，得，
解之得，
故y=x+3；

（3）设M点的坐标为（x，-x2-2x+3），
AB=4，因为M在第二象限，所以-x2-2x+3＞0，
所以=6，
解之，得x1=0，x2=-2，
当x=0时，y=3，（不合题意）
当x=-2时，y=3．
所以M点的坐标为（-2，3）；

（4）由题意，得AB=4，PA=4-t，
∵AO=3，CO=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，AQ=2t，
所以Q点的纵坐标为t，
S=（0＜t＜4）
∵，
∴当t=2时，△APQ最大，最大面积是．