Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连接AB并延长交⊙O₂于点C，连接O₂C．如果AB•BC=16，O₂C=5，则tan∠AO₁O₂的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

延长O2O1交⊙O1于点D，连接AD，由题意可知三角形AO1O2为直角三角形，所以要求tan∠AO1O2的值只要求出AO1的值问题得解．
【解析】
延长O2O1交⊙O1于点D，连接AD．
∵O1A为切线，
∴∠O1AB+∠BAO2=90°，
又∵AO2=O2C，
∴∠BAO2=∠C，
又∵AO1=BO1，
∴∠O1AB=∠ABO1=∠CBO2，
∴∠CBO2+∠C=90°，
∴∠BO2C=90°，
∴O2C⊥O1O2；
∵BD是⊙O1直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠BO2C=90°，
∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC，
∴△O2BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O2B•BD又BD=2BO1，
∴AB•BC=2O2B•BO1．
∵∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A，
∴△AO2B∽△DO2A，
∴，
∴AO22=O2B•O2D，
∵O2C=O2A，
∴O2C2=O2B•O2D①，
又∵AB•BC=O2B•BD②，
由①-②得O2C2-AB•BC=O2B2即52-16=O2B2，
∴O2B=3又O2B•BD=AB•BC=16，
∴BD=，
∴2AO1=BD=，
∴AO1=，
∴tan∠AO1O2===，
故选A．