Question

已知抛物线y=x²+2px+2p-2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

Answer

（1）先判断出△的符号即可得出结论；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=-（p-1）2-1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．
【解析】
（1）∵△=4p2-8p+8=4（p-1）2+4＞0，
∴抛物线与x轴必有两个不同交点．

（2）设A（x1，0），B（x2，0），
则|AB|2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1x2=4p2-8p+8=4（p-1）2+4，
∴|AB|=2．
又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2-（p-1）2-1．
得b=-（p-1）2-1．
当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．