Question

如图，四边形ABCD是正方形，点N是CD的中点，M是AD边上不同于点A、D的点，若sin∠ABM=，求证：∠NMB=∠MBC．

Answer

可构建等腰三角形来解答，如图，证明△MBE是等腰三角形，关键是证明△MND≌△ENC，点N是CD的中点，∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC；设AM=1，由，由勾股定理得，，所以，，CE=MD=2、，所以，ME=MN+NE=BE=BC+CE=5，即可证明；
证明：如图，分别延长BC、MN相交于点E，
设AM=1，∵，
∴，得，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且，
在Rt△DMN中，，
又∵∠MDN=∠ECN=90°、∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA）
∴CE=MD=2、，
∴ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC．