根据题意画出平移后的图形,如图所示,设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D,连接OD,OA,AD,过O作OE⊥AD,根据垂径定理得到E为AD的中点,由平移前AC与圆O相切,切点为A点,根据切线的性质得到OA与AC垂直,可得∠OAA′为直角,由A′D与A′A为圆O的两条切线,根据切线长定理得到A′D=A′A,再根据∠B′A′C′=60°,根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形,平移的距离AA′=AD,且∠DAA′=60°,由∠OAA′-∠DAA′求出∠OAE为30°,在直角三角形AOE中,由锐角三角函数定义表示出cos30°=,把OA及cos30°的值代入,求出AE的长,由AD=2AE可求出AD的长,即为平移的距离.
【解析】
根据题意画出平移后的图形,如图所示:
设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D,连接OD,OA,AD,
过O作OE⊥AD,可得E为AD的中点,
∵平移前圆O与AC相切于A点,
∴OA⊥A′C,即∠OAA′=90°,
∵平移前圆O与AC相切于A点,平移后圆O与A′B′相切于D点,
即A′D与A′A为圆O的两条切线,
∴A′D=A′A,又∠B′A′C′=60°,
∴△A′AD为等边三角形,
∴∠DAA′=60°,AD=AA′=A′D,
∴∠OAE=∠OAA′-∠DAA′=30°,
在Rt△AOE中,∠OAE=30°,AO=2,
∴AE=AO•cos30°=,
∴AD=2AE=2,
∴AA′=2,
则该直角三角板平移的距离为2.
故答案为:2.