Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边的中线，以D为公共端点的两条互相垂直的射线分别与AC、BC交于点E、F，分别过点E、F作AB的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：①DE=DF；②EG+FH=AC．
（2）当∠EDF绕D点旋转到图2、图3这两种位置时，探索②中的等量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段EG、FH、AC之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想（不需证明）．

Answer

（1）①可通过证明△CDE≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等解答；②△AEG和△BHF均为等腰直角三角形，可得GE=HD，GD=HF，易证△DEG≌△FDH，可得EG=DH，FH=DG，则可得EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC．
（2）图2中，可证明△EDG≌△DFH（AAS），则EG=DH，DG=FH，又△AGE是等腰三角形，则EG-FH=AG-DG=AB=AC；图3同理可得，FH-GE=BH-DH=AB=AC．
证明：（1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB上的中线，
∴CD=BD，∠DCE=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF．

②∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均为等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，FH=DG，
∴EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC．

（2）均不成立．
①当∠EDF绕D点旋转到图2位置时，EG-FH=AC．
证明：∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均为等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，FH=DG，
∴EG-FH=AG-DG=AB=AC．

②当∠EDF绕D点旋转到图3位置时，FH-EG=AC．
证明：∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EGD=∠DHF=90°，∠DEG+∠EDG=90°，
∴△AEG和△BHF均为等腰直角三角形，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠FDH=90°，
∴∠DEG=∠FDH，
在△DEG和△FDH中，
，
∴△DEG≌△FDH，
∴EG=DH，FH=DG，
∴FH-GE=BH-DH=AB=AC．