Question

如图（1），已知抛物线y=ax²+bx+c经过原点 O，它的顶点坐标为（5，），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、．D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若AB=6，求AD的长；
（3）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
（4）如图（2），若直线y=x交抛物线的对称轴于点N，P为直线y=X上一个动点，过点P作X轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线y=x上是否存在点P，使得以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用图象上顶点坐标以及原点，由顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出D点横坐标x=2，求出D点纵坐标即可得出AD的长；
（3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
（4）利用等腰直角三角形的性质得出QN=AB=AO，以及P在y=x的图象上，即可得出P点的坐标．
【解析】
（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，），且图象过（0，0）点，
代入顶点式得：
y=a（x-5）2+，
将（0，0）代入解析式得：
∴0=a（0-5）2+，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）2+；

（2）∵此函数顶点坐标为（5，），且图象过（0，0）点，
∴图象与x轴另一交点为：（10，0），
当AB=6时，
∴AO=（10-6）÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）2+6.25；
y=4，
∴AD=4；

（3）假设AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l=2[-0.25（x-5）2+6.25]+2（10-2x）=-0.5x2+x+20，
∴l的最大值为：==20.5．

（4）当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5=，
解得：m=5±，
当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P3Q3=2Q3K1，P3Q3=--x，
Q3K1=5-x，
Q点在OM的下方时，P4Q4=2Q4K2，P4Q4=x-（-），
Q4K2=x-5，
∴x2-x+10=0，
解得：x1=4，x2=10，
P3（4，4），P4（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
（5-，5-）或（5+，5+）或（4，4）或（10，10）．