Question

已知，▱ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F．若DE=5，DF=8，求▱ABCD的两边AB、BC长和BE+BF的长．

Answer

根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，（1）当∠A为锐角时，根据题意画出图形，做出辅助线，设AB=a，BC=b，根据平行四边形的面积公式推出AB×DE=BC×DF，即5a=8b，再根据平行四边形的性质推出AB=CD，BC=DA后，由周长公式即可推出2（a+b）=52，通过解方程组，推出，即可求出AB=CD=16，AD=BC=10，然后根据勾股定理即可推出AE和CF的长度，根据图形即可求出BE=AB-AE=16-5，BF=CF-BC=8-10，通过计算即可求出BE+BF的长度，（2）当∠D为锐角时，根据题意画出图形，根据（1）中所求出的AE=5，CF=8，根据图形即可推出BE=BA+AE=16+5，BF=BC+CF=10+8，即可求出BE+BF=（16+5）+（10+8）=26+13．
【解析】
对于平行四边形ABCD有两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
设AB=a，BC=b，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四边形ABCD的周长为52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程组，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∵，
∴，
∴AB=CD=16，AD=BC=10，
∵DE=5，DF=8，
∴在Rt△ADE中，AE=5，
∴BE=AB-AE=16-5，
∴在Rt△DFC中，CF=8，
∵F点在CB的延长线上，
∴BF=CF-BC=8-10，
∴BE+BF=（16-5）+（8-10）=6+3，

（2）当∠D为锐角时，如图2，
设AB=a，BC=b，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四边形ABCD的周长为52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程组，
∴由②得：a=26-b  ③，
∴把③代入①得：b=10，
∴a=16，
∵，
∴，
∴AB=CD=16，AD=BC=10，
∵DE=5，DF=8，
∴在Rt△ADE中，AE=5，
∴在Rt△DFC中，CF=8，
∴BE=BA+AE=16+5，BF=BC+CF=10+8，
∴BE+BF=（16+5）+（10+8）=26+13．