Question

随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y₁与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y₂与投资成本x成二次函数关系，如图②所示．（注：利润与投资成本的单位：万元）
（1）分别求出利润y₁与y₂关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

Answer

（1）设出一次函数解析式和顶点为原点的二次函数解析式，把P，Q分别代入两个函数解析式可得相应的函数解析式；
（2）总利润=种植花卉的利润+种植树木的利润，用公式法可得二次函数的最值问题．
【解析】
（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a•22，即a=，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2；

（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8-x）+x2=x2-2x+16=（x-2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴当x=8时，z的最大值是32．