Question

已知：如图，平行四边形ABCD中，AE、BE、CF、DF分别平分∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA，BE、DF的延长线分别交AD、BC于点M、N，连接EF，若AD=7，AB=4，求EF的长．

Answer

根据平行四边形的性质和角平分线的定义先证明AM=AB=4，再利用已知条件证明四边形BNDM是平行四边形，进而得到BM=DN，BM∥DN，所以四边形MEFD也是平行四边形，再利用平行四边形的性质：对边相等即可求出DM的长，所以也就求出EF的长．
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD．
∴∠2=∠3．
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∴AM=AB=4．
∵AE平分∠BAD，
∴EM=BM，
．同理，CN=CD，DF=DN，
∴AM=CN．
∴AD-AM=BC-CN，即 DM=BN．
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴BM=DN，BM∥DN．
∴EM=DF，EM∥DF．
∴四边形MEFD是平行四边形．
∴EF=MD．
∵DM=AD-AM=AD-AB=7-4=3，
∴EF=DM=3．