Question

在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，且CF=BF，另一边与BA的延长线交于点E，连接EF，与BD交于点M．∠BEF的角平分线交BD于点G，过点G作GH⊥AB于H．在下列结论中：（1）；（2）DG=DF；（3）∠BME=90°；（4）HG+EF=AD．正确的个数有（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

利用相似三角形的性质与判定首先求出DW=x，进而得出QM=x，即可得出S△BME=×MQ×BE=x2，S△BDF=×2x×3x=3x2，即可得出①错误，再利用三角形的外角以及正方形的性质得出②正确，进而利用等腰三角形的性质求出其他答案．
【解析】
作MQ⊥AB于点Q，
假设CF=x，则BF=2x，BE=4x，AE=x，
∵AD∥BC，
∴=，
∴，
∴AW=，
∴DW=x，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
解得：DM=x，
∴BM=x，
∴QM=x，
∴S△BME=×MQ×BE=x2，
S△BDF=×2x×3x=3x2，
∴=，
∴故（1）错误；

∵在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴∠FEG=∠BEG，
∵∠DEG=∠DEF+∠FEG=45°+∠FEG，
∵∠EGD=∠ABD+∠BEG=45°+∠BEG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴ED=DG，
∴DG=DF，故（2）正确；

∵∠MBF+∠MFB=∠BME，
∵∠MBF=45°，
∵BF≠BE，
∴∠BFE≠45°，
∴∠MBF+∠MFB=∠BME≠90°，
故（3）错误；

延长EG到BC于点S，作SZ⊥EF于点Z，
∵CF=BF，
∴设FC=x，BF=2x，
∴AB=AD=3x，
∵将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴可以得出AD=DC，DE=DF，
∠EAD=∠C=90°，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=FC=x，
∴EB=4x，
∴EF==2x，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴BS=SZ，
sin∠ZFS===，
∴=，
∴=，
解得：SZ=（4-8）x，
∵HG∥BS，
∴=，
∴=，
解得：HG=（3-）x，
∴2HG+EF=（6-2）x+2x=6x，
2AD=6x，
∴2HG+EF=2AD，
∴HG+EF=AD，
故（4）正确．
故选C．