Question

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，
∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为______；
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=，求tan∠PCB和tan∠ACP的值．

Answer

（1）首先连接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可证得△ABE∽△DBM，根据相似三角形的对应边成比例，即可得AE=MD；
（2）由∠ABC=60°，即可求得MD=AE，继而可得AE=2MD；
（3）首先连接AD，EP，根据题意易证得△ABC是等边三角形，△ABE∽△DBM，继而可证得△BEP为等边三角形，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理即可求得BE的长，然后利用三角函数的性质，即可求得tan∠PCB和tan∠ACP的值．
【解析】
（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC，
即AB=BD．…（1分）
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（2分）
∴，
∴AE=MD．…（3分）

（2）∵cos∠ABC=cos60°=，
∴MD=AE•cos∠ABC=AE•，…（4分）
∴AE=2MD；…（5分）

（3）如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．…（6分）
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（7分）
∴，∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，…（8分）
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°
∴∠AEB=90°
在Rt△AEB中，AE=，AB=7，
∴BE==．
∴tan∠EAB=．…（9分）
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=．…（10分）
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=，
∴NA=AD-ND=．…（11分）
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=AN=，AH=AN•cos∠NAH=，
∴CH=AC-AH=，
∴tan∠ACP=．…（12分）