Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线．

Answer

（1）根据矩形的面积公式可求得其长和宽即OA、OC的长；
（2）要证明DF为⊙O′的切线只要证明DF⊥O′D即可．
【解析】
（1）在矩形OABC中，设OC=x则OA=x+2，依题意得
x（x+2）=15
解得x1=3，x2=-5（不合题意，舍去）
∴OC=3，OA=5．

（2）证明：连接O′D，
在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=
∴△OCE≌△ABE
∴EA=EO
∴∠EOA=∠EAO
在⊙O′中
∵O′O=O′D
∴∠O′OD=∠O′DO
∴∠O′DO=∠EAO
∴O′D∥AE
∵DF⊥AE
∴DF⊥O′D
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径
∴DF为⊙O′切线．