Question

如图，直线y=x+1分别交x轴，y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线y=在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，△APB的面积为4．
（1）求点P的坐标；
（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标．

Answer

（1）求出直线y=x+1与x轴，y轴于点A，C，根据点P在直线y=x+1上，可设点P的坐标为（m，m+1），根据S△APB=AB•PB就可以得到关于m的方程，求出m的值．
（2）根据△APB的面积为4．就可以得到k=4，解反比例函数与一次函数解析式组成的方程组，就得到直线与双曲线的交点．
【解析】
（1）y=x+1，令x=0，则y=1；令y=0，则x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）．（1分）
∵点P在直线y=x+1上，可设点P的坐标为（m，m+1），
又∵S△APB=AB•PB=4，
∴（2+m）（m+1）=4．（2分）
即：m2+4m-12=0，
∴m1=-6，m2=2．
∵点P在第一象限，
∴m=2．（3分）
∴点P的坐标为（2，2）；（4分）

（2）∵点P在双曲线y=上，
∴k=xy=2×2=4．（5分）
∴双曲线的解析式为y=．（6分）
解方程组得，（8分）
∴直线与双曲线另一交点Q的坐标为（-4，-1）．（9分）