Question

如图，已知等边△ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．
（l）当AE：AF=5：4时，求BD的长；
（2）当ED上BC时，求EB的值；
（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．

Answer

（1）根据等边三角形的性质得到∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，则∠BDE+∠BED=120°，根据折叠的性质得∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，则∠BDE+∠FDC=120°，得到∠BDE=∠DFC，根据三角形相似的判定得△BED∽△CDF，根据相似的性质有==；设AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，FC=6-4x，则BD=FC=（6-4x），DC=BE=（6-5x），即有（6-4x）+（6-5x）=6，解出x即可计算出BD的长；
（2）由ED⊥BC，得到∠BDE=90°，而∠B=60°，AB=6，BE=x，则AE=ED=6-x，利用60°的正弦得到sin60°==，则6-x=x，解方程即可；
（3）讨论：当△BED∽△DEF，则=，即=，由（1）得△BED∽△CDF，==，则=，所以BD=DC，则AD垂直平分BC，得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE；当△BDE∽△DEF，得到∠BDE=∠DEF，则EF∥BC，也得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE．
【解析】
（1）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BDE+∠BED=120°，
又∵折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF，
∴∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，
∴∠BDE+∠FDC=120°，
∴∠BDE=∠DFC，
∴△BED∽△CDF，
∴==，
当AE：AF=5：4，设AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，FC=6-4x，
∴==，
∴BD=FC=（6-4x），DC=BE=（6-5x）
∴BD+DC=6，即（6-4x）+（6-5x）=6，
解得x=，
∴BD=（6-4×）=4；

（2）如图，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=90°，
而∠B=60°，AB=6，
设BE=x，则AE=ED=6-x，
∴sinB=sin60°==，
∴6-x=x，
解得x=12（2-），
∴BE=24-12；

（3）∵以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似，
当△BED∽△DEF，
∴=，即=，
又∵△BED∽△CDF，
∴==，
∴=，
∴BD=DC，
∴AD垂直平分BC，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE=3；
当△BDE∽△DEF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥BC，
而EF垂直平分AD，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE=3．