Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，BD=DC，BE=AF，EF交AD于点G．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：△DEG∽△DCF；
（3）如果AB=3BE，BE=2，求出所有与△BDE相似的三角形的面积．

Answer

（1）由题意可知AB=AC，BE=AF，推出AE=FC，AD=CD，∠BAD=∠C=45°，推出△ADE≌△CDF，即可推出结论；
（2）根据△ADE≌△CDF，推出∠EDG=∠CDF，根据∠ADF+∠CDF=90°和∠ADF+∠EDG=90°，推出∠DEF=45°，即可推出△DEG∽△DCF；
（3）作EH⊥BC于H，根据题意可知△BDE∽△ADF∽△FDG∽△AEG，根据直角三角形的函数值推出EH的长度，推出△BDE的面积，可求出AE，AB，BD，CD，AC，AF，AD等相关线段的长度，根据相似三角形的性质中面积之比是相似比的平方，即可推出与△BDE相似的三角形的面积．
【解析】
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=DC，
∴AD=BC=CD，且∠BAD=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE=AF，
∴AE=CF，
∵AD=CD，∠BAD=∠C，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，

（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠EDG=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF+∠EDG=90°，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠C，
∵∠EDG=∠CDF，∠DEF=∠C，
∴△DEG∽△DCF，

（3）作EH⊥BC于H．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∵BE=2，
∴EH=BH=2，
∴S△BDE=6，
∵AB=3BE，
∴AE=4，BD=3BH=6，
∴HD=4，
∴在Rt△DEH中，DE==2，
∴DF=DE=2，
∴△BDE∽△ADF∽△FDG∽△AEG，
∵S△ADF：S△BDE=DA2：BD2=1，
∴S△ADF=S△BDE=6；
∵S△FDG：S△BDE=DF2：BD2=（2）2：62=5：9，
∴S△FDG=×6=，
∵S△AEG：S△BDE=AE2：BD2=（4）2：62=8：9，
∴S△AEG=．