Question

如图，以AB为直径作半圆与直角梯形ABED另一腰DE相切于C点，再分别以AC、BC、
AD、CD、CE、BE为直径作半圆．若AC=3，BC=4，则图中阴影部分的面积和为    ．

Answer

先取AB的中点O，连接OC，由勾股定理求出AB的长，再根据切线的性质判断出OC是梯形ABED的中位线，求出OC的长，根据直角梯形的性质及勾股定理求出CE的长，进而求出梯形的高，再根据勾股定理及圆的面积公式得出S阴影=S梯形ABED-S△ABC，再把相应的数值代入进行计算即可．
【解析】
取AB的中点O，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴OC是梯形ABED的中位线，
∴CD=CE，=OC，
∴OA=OC==，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴AC2-AD2=BC2-BE2，即32-（2OC-BE）2=42-BE2，即32-（5-BE）2=42-BE2，解得BE=3.2，
∴CD=CE===，
∴DE=2CE=2×=，
∵△ACD是直角三角形，
∴AC2=AD2+CD2，
∴（）2=（）2+（）2，
即以AC为半径的圆的半圆的面积等于以CD为半径的半圆与以AD为半径的半圆面积的和，
∴以CD为半径的半圆阴影部分与以AD为半径的半圆阴影部分面积的和等于Rt△ACD的面积，
同理可得，以BE为半径的半圆阴影部分与以CE为半径的半圆阴影部分面积的和等于Rt△CBE的面积，
∴S阴影=S梯形ABED-S△ABC=-AC×BC=OC×DE-AC×BC=2.5×-×3×4=6．
故答案为：6．