Question

已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于G，∠ACB的平分线交⊙O于D，E在AC上，BE交AD于F，∠CBD=∠EBD．求证：DF=DG．

Answer

由弦切角定理，易求得∠CBD=∠BAD，而∠CBD=∠EBD，即∠EBD=∠BAD；Rt△ABD中，易证得∠ABD=∠BFD；由于四边形AGDB内接于⊙O，则∠CGD=∠BFD=∠ABD；
由于D是∠EBC和∠BCE角平分线的交点，因此D是△BEC的内心，过D作DM⊥BF于M，DN⊥CG于N；则DM=DN，易证得Rt△DMF≌Rt△DNG，由此可证得DF=DG．
证明：∵CB是⊙O的切线，
∴∠CBD=∠BAD．
∵BD平分∠EBC，
∴∠CBD=∠EBD．
Rt△ABD中，∠EBD+∠BFD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BFD=∠ABD．
又∵四边形AGDB内接于⊙O，
∴∠CGD=∠ABD=∠BFD．
过D作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，
∵点D是∠EBC和∠ECB角平分线的交点，
∴点D是△EBC的内心，则DM=DN．
又∵∠DMF=∠DNG=90°，∠BFD=∠CGD，
∴△DMF≌△DNG．
∴DF=DG．