Question

如图，M是正方形ABCD边AD上动点、以BM为对角线作正方形BGMN．
（1）当点M与A重合时，直接写出△BNC与△BMD之间的面积关系．
（2）当点M不与A重合时，猜想△BNC与△BMD之间的面积关系，并证明你的猜想．
（3）当点M在运动时，是否有一点使S_{正方形BGMN}=4S_△BNC成立？若成立，请求出∠ABM的大小；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）根据A与M重合，利用正方形的性质，对角线垂直且平分，即可得出△BNC与△BMD的大小关系；
（2）根据正方形的性质得出∠MBD=∠DBN，进而求出=，=，得出△BNC∽△BMD，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可；
（3）利用当S正方形BGMN=4S△BNC，可得S△BMN=S△BMD，再利用△BNC∽△BMD，得出∠BCN=∠MDB=45°，进而利用两边且夹角相等得出△BNC≌△DNC，再求出∠MBD=∠BDN=∠NBD得出答案．
【解析】
（1）=；

（2）猜想=；
证明：∵BM，BD都是正方形的角平分线，
∴∠MBN=∠DBC=45°，
∴∠MBD+∠DBN=45°，∠DBN+NBC=45°，
∴∠MBD=∠DBN，
∵=，=，
∴=，
∴△BNC∽△BMD，
∴=（）2=；

（3）连接DN，
当S正方形BGMN=4S△BNC，
∵=；
∴可得S△BMN=S△BMD，
∴BM∥DN，
∴∠MBD=∠BDN，
∵△BNC∽△BMD，
∴∠BCN=∠MDB=45°，
∵NC=NC，BC=DC，
即
∴△BNC≌△DNC，（SAS）
∴BN=DN，
∴∠NBD=∠BDN，
∴∠MBD=∠BDN=∠NBD=22.5°，
∠ABM=22.5°．