Question

如图，已知抛物线m的解析式为y=x²-4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．

Answer

（1）根据m的解析式可求m与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），n与m关于x轴对称，实际上是n与m的顶点关于x轴对称，即l2的顶点为（0，4），设顶点式，可求抛物线n的解析式，利用平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B（m，n），则点D（-m，-n），由于B（m，n）点是y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，∴-n=-（m2-4）=-m2+4=-（-m）2+4，可知点D（-m，-n）在n，y=-x2+4的图象上；
（2）构造∠ABC=90°是关键，连接OB，只要证明OB=OC即可，
（3）求出OB长，过点B作BH⊥x轴于H，用B的坐标为（x，x2-4），可求OB，用OB=OC求x，再计算面积．
（1）证明：设n的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵n与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），m与n关于x轴对称，
∴m过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
∴
∴a=-1，b=0，c=4，
即n的解析式为y=-x2+4，
设点B（m，n）为m：y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，
∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
∴B、D关于原点O对称，
∴点D的坐标为D（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m2-4）=-（-m）2+4，
即点D的坐标满足y=-x2+4，
∴点D在n上．

（2）【解析】
▱ABCD能为矩形．
过点B作BH⊥x轴于H，由点B在m：y=x2-4上，可设点B的坐标为（x，x2-4），
则OH=|x|，BH=|x2-4|．
易知，当且仅当BO=AO=2时，▱ABCD为矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x|2+|x2-4|2=22，
（x2-4）（x2-3）=0，
∴x=±2（舍去）、x=±．（7分）
所以，当点B坐标为B（ ，-1）或B′（-，-1）时，▱ABCD为矩形，
此时，点D的坐标分别是D（-，1）、D′（ ，1）．
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．

（3）【解析】
设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，
∴=，
∴．
∴EO=4-2 ．
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
S=2S△ACE=2××AC×EO=2××4×（4-2 ）=16-8 ．