Question

已知平面区域上，坐标x，y满足|x|+|y|≤1
（1）画出满足条件的区域L，并求出面积S；
（2）对区域L作一个内切圆M₁，然后在M₁内作一个内接与此圆与L相同形状的图形L₁，在L₁内继续作圆M₂，…经过无数次后，求所有圆的面积的和．
（提示公式：）

Answer

（1）根据绝对值的性质去掉绝对值号，作出|x|+|y|≤1的线性规划区域即可得到区域L，然后根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可；
（2）求出M1、M2的面积，然后根据求解规律，后一个圆得到面积等于前一个圆的面积的，然后列式，再根据等比数列的求和公式求解即可．
【解析】
（1）如图，|x|+|y|≤1可化为，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四边形ABCD就是满足条件的区域L是正方形，
S=×AC×BD=×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如图，∵A0=1，
∴⊙M1的半径为：1×sin45°=，
∴内切圆M1的面积是：π（）2=π，
同理可得：⊙M2的半径为：×sin45°=（）2，
∴内切圆M2的面积是：π[（）2]2=π×=π（）2，
⊙M3的半径为：（）2×sin45°=（）3，
内切圆M3的面积是：π[（）3]2=π×（）2=π（）3，
…
以此类推，经过n次后，⊙Mn的面积为π（）n，
∴所有圆的面积的和=π+π（）2+π（）3+…+π（）n==π[1-（）n]．
故答案为：（1）2，（2）π[1-（）n]．