Question

如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB于点B，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD，AD∥CE．
（1）求证：AD•CE=DE•DF．
（2）若∠DAE=30°，BC=2，AD=，AE：BE=2：3，求的长．

Answer

（1）连接AF，OB，∠F=∠ABD=∠GDA，推出∠GDA+∠1=90°，求出DC是圆的切线，推出∠CDE=90°，证△ADF∽△DEC，得出比例式，求出即可；
（2）求出∠CEB=∠DAE=30°，求出BE、AE，设DE=x，DF=y，求出xy=10，根据相交弦定理求出x、y，求出圆的半径，求出∠DOB，根据弧长公式求出即可．
（1）证明：连接AF，OB，
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DAF=90°，
∵∠ADG=∠ABD，
而∠F=∠ABD．
∴∠ADG=∠F，
∵∠F+∠1=90°，
∴∠ADG+∠1=90°，
∴CG是⊙O的切线．
∴∠CDE=90°，
∵AD∥CE，
∴∠1=∠2，
∴△ADF∽△DEC，
∴=，
即AD•CE=DE•DF．

（2）【解析】
∵AD∥CE，∠DAE=30°，
∴∠CEB=∠DAE=30°，
在Rt△EBC中，∵BC=2，
∴CE=4，BE=2，
∵AE：BE=2：3，
∴AE=，
设DE=x，DF=y
∵AD•CE=DE•DF，AD=，
∴xy=10，
∵由AE•BE=DE•EF，得×2=x（y-x），
解得x2=2，
x=，
∴y=5，
连接OB，于是∠DOB=60°，
∴的长为=，
答：的长为．