Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-4与直线y=x交于点A、B，M是抛物线上一个动点，连接OM．
（1）当M为抛物线的顶点时，求△OMB的面积；
（2）当点M在抛物线上，△OMB的面积为10时，求点M的坐标；
（3）当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，△OMB的面积最大．

Answer

（1）由y=x2-2x-4=（x-1）2-5，得到M的坐标为（1，-5），解方程组，得A（-1，-1）
B（4，4），过点M作y轴的平行线与AB交于点N，易得N（1，1），由S△OBM=S△OMN+S△BMN即可得到答案．
（2）分类讨论：①当M在直线AB下方时，设M（xm，xm2-2xm-4），则N（xm，xm），利S△OMB=S△OMN+S△MNB=10，得到关于m的方程，解方程即可得到M的坐标；②当M在直线AB上方时，同理可得M的坐标；
（3）设M（xm，xm2-2xm-4），则N（xm，xm），通过面积公式得到S△OMB=2（-xm2+3xm+4），根据二次函数的顶点式即可得到当x=时，S△OMB有最大值．
【解析】
（1）∵y=x2-2x-4=（x-1）2-5，
∴当M是顶点时，M的坐标为（1，-5），
解方程组，得A（-1，-1）B（4，4），
过点M作y轴的平行线与AB交于点N，易得N（1，1），如图，
∴S△OBM=S△OMN+S△BMN=×6×1+×6×3=12；

（2）①当M在直线AB下方时，
设M（xm，xm2-2xm-4），则N（xm，xm）
S△OMB=S△OMN+S△MNB
=

，即M1（，）、M2（，）；

②当M在直线AB上方时，同理

纵上所述M1（，）、M2（，）；

；

（3）设M（xm，xm2-2xm-4），则N（xm，xm）

=
=2（-xm2+3xm+4）
=
∴当x=时，S△OMB有最大值．