Question

已知，抛物线y=ax²+bx+c，过A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+b经过点C、M两点．且与x轴交于点E．△AEC的面积与△BCM的而积是否相等？如果相等，请给出征明；如果不相等，请说明理由；
（3）点P在此抛物线的对称轴上，设⊙P的半径为m．①若⊙P与直线CM相切．并且与x轴有交点，求m的取值范围；②若⊙P经过A、B两点，且与直线CM相切于点F，求切点F的坐标．

Answer

（1）根据交点式或待定系数法就可以求二次函数的解析式，
（2）根据公式或配方法可以求出抛物线的顶点坐标，把顶点坐标和C点代入函数y=kx+b就可以求出k，b的值，进而得出三角形面积关系；
（3）①分别利用当点P在第四象限内，当点P在第一象限内利用相似三角形的性质求出即可；
②利用切割线定理得出，EF=2，FG=，EG=，结合①中两种情况，进而得出答案即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，过A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴假设函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
将（0，-3）代入得：
-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3；

（ 2）如图所示：
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴M点的坐标为：（1，-4），
∵直线y=kx+b经过点C、M两点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：y=-x-3，
当y=0，x=-3，
∴E（-3，0），
S△AEC=AE•CO=2×3=3，
S△BCM=S△BEM-S△BEC=×6×4-×6×3=3，
所以成立；

（3）①设对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线的对称轴直线x=1上，
先考虑与x轴相切，则点P的位置有两种情况：
当点P在第四象限内，过点P作PG⊥EM于G．（如图1）
PG=PD=m．PM=4-m，
EM=4，
△PGM∽△EDM，m=4（-l），
当点P在第一象限内．
过PG⊥EM于G，（如图2），PG=PD=m，
PM=4+m，
同理△EDM∽△PGM，
m=4（+1），
4（-1）≤m≤4（+1）；
②（如图3）连接PF，过点F作FG⊥EB，
∵⊙P经过A、B两点，且与直线CM相切于点F，
∴EF2=EA•EB=12，（切割线定理）
∴EF=2，
∵EF2=FG2+GE2，
∴2FG2=12，
∴FG=，EG=，
OG=OE+EG=3+，
连接PF，过点F作FG⊥EB，
∵⊙P经过A、B两点，且与直线CM相切于点F，
∴EF2=EA•EB=12，（切割线定理）
∴EF=2，
∵EF2=FG2+GE2，
∴2FG2=12，
∴FG=，EG=，
OG=OE-EG=3-，
∴F（-3，）或F（-3-，-）．