Question

已知抛物线y=x²-2x+m与x轴有两个不同交点A（x₁，0）、B（x₂，0）并且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=4，
①求这条抛物线的解析式；
②设抛物线的顶点为C，P是抛物线上一点，且∠PAC=90°，求P点坐标及△PAC内切圆的面积．

Answer

（1）由根与系数的关系得出x1+x2=2，x1•x2=m，把已知转化成含有以上两式的形式代入即可求出m，即可求出答案；
（2）求出A、B、C的坐标，设P的坐标是（x，x2-2x），根据勾股定理求出x，即得到P的坐标，根据勾股定理求出PA、AC、PC的值，设△PAC的内切圆的半径是r，根据三角形的面积公式得出S△PAC=PA×AC=PA•r+PC•r+AC•r，代入求出r，即可求出答案．
【解析】
（1）当y=0时，x2-2x+m=0，
由根与系数的关系得：x1+x2=2，x1•x2=m，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
∴4-2m=4，
∴m=0，
即抛物线的解析式是y=x2-2x，
答：这条抛物线的解析式是y=x2-2x．
（2）【解析】
y=x2-2x=x（x-2）=（x-1）2-1，
∴A（0，0），B（2，0），C（1，-1），
设P的坐标是（x，x2-2x），
由勾股定理得：PA2+AC2=PC2，
∴x2+（x2+2x）2+12+12=（x-1）2+（x2-2x+1）2，
解得：x1=0（因为此时与A重合，舍去），x2=3，
x2-2x=3，
∴P的坐标是（3，3），
由勾股定理求出AC=，PA=3，PC=2，
设△PAC的内切圆的半径是r，
根据三角形的面积公式得：S△PAC=PA×AC=PA•r+PC•r+AC•r，
∴×3×=×3×r+×2×r+××r，
解得：r=2-，
∴圆的面积是πr2=π=13π-4π，
答：P点坐标是（3，3），△PAC内切圆的面积是13π-4π．